8.4 Modelos de media móvil En lugar de utilizar valores pasados de la variable de pronóstico en una regresión, un modelo de media móvil utiliza errores de pronóstico anteriores en un modelo similar a la regresión. Y c e teta teta e dots theta e, donde et es ruido blanco. Nos referimos a esto como un modelo MA (q). Por supuesto, no observamos los valores de et, por lo que no es realmente regresión en el sentido usual. Observe que cada valor de yt puede considerarse como una media móvil ponderada de los últimos errores de pronóstico. Sin embargo, los modelos de media móvil no deben confundirse con el suavizado promedio móvil que discutimos en el Capítulo 6. Un modelo de media móvil se utiliza para pronosticar valores futuros mientras que el suavizado medio móvil se utiliza para estimar el ciclo de tendencias de valores pasados. Figura 8.6: Dos ejemplos de datos de modelos de media móvil con diferentes parámetros. A la izquierda: MA (1) con y t 20e t 0.8e t-1. Derecha: MA (2) con y t e t - e t-1 0.8e t-2. En ambos casos, e t es el ruido blanco normalmente distribuido con media cero y varianza uno. La Figura 8.6 muestra algunos datos de un modelo MA (1) y un modelo MA (2). Al cambiar los parámetros theta1, dots, thetaq, se obtienen diferentes patrones de series temporales. Al igual que con los modelos autorregresivos, la varianza del término de error y sólo cambiará la escala de la serie, no los patrones. Es posible escribir cualquier modelo estacionario AR (p) como un modelo MA (infty). Por ejemplo, usando la sustitución repetida, podemos demostrar esto para un modelo de AR (1): begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) ph php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php 1, el valor de phi1k se hará más pequeño a medida que k sea mayor. Así que finalmente obtenemos yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, un proceso MA (infty). El resultado inverso se cumple si imponemos algunas limitaciones a los parámetros de MA. Entonces el modelo MA se llama inversible. Es decir, que podemos escribir cualquier proceso de MA (q) invertible como un proceso de AR (infty). Los modelos Invertibles no son simplemente para permitirnos convertir de modelos MA a modelos AR. También tienen algunas propiedades matemáticas que los hacen más fáciles de usar en la práctica. Las restricciones de invertibilidad son similares a las restricciones de estacionariedad. Para un modelo MA (1): -1lttheta1lt1. Para un modelo MA (2): -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1-theta2 lt 1. Condiciones más complicadas se mantienen para qge3. Una vez más, R se encargará de estas limitaciones al estimar los modelos. La estimación de mínimos cuadrados de la varianza residual en el modelo de media móvil de primer orden Resumen En el modelo de media móvil de primer orden analizamos el comportamiento del estimador de la varianza Del residuo aleatorio procedente del método de mínimos cuadrados. Este procedimiento se incorpora en algunos programas informáticos ampliamente utilizados. Se demuestra a través de simulaciones que las fórmulas asintóticas para el sesgo y la varianza del estimador de máxima verosimilitud, pueden utilizarse como aproximaciones para el estimador de mínimos cuadrados, al menos cuando el parámetro del modelo está lejos de la región de no invertibilidad. Los resultados asintóticos se desarrollan usando la idea de autoregresión de ldquolong, y esto conduce a una expresión de forma cerrada para el estimador de mínimos cuadrados. A su vez, esto se compara con el estimador de máxima verosimilitud bajo la normalidad, tanto en su versión exacta como en una aproximada, que se obtiene aproximando la matriz en el exponente de la función de verosimilitud gaussiana. Esta comparación se ilustra mediante algunos ejemplos numéricos. Se enfatiza la dependencia de los resultados sobre sesgos en los valores del parámetro del modelo. Palabras clave Modelo de media móvil Estimación de la varianza residual Mínimos cuadrados Asymptotic bias Asymptotic mean square error Correspondence address. Facultad de Ciencias Económicas, Inst. De Investigaciones Estadísticas, Universidad Nacional de Tucumán, Casilla de Correo 209, 4000 Tucumán, Argentina. Copyright copy 1999 Elsevier Science B. V. Todos los derechos reservados. Hay una serie de enfoques para el modelado de series de tiempo. Describimos algunos de los enfoques más comunes a continuación. Tendencia, Descomposiciones Estacionales, Residuales Un enfoque consiste en descomponer las series temporales en un componente de tendencia, estacional y residual. El triple alisado exponencial es un ejemplo de este enfoque. Otro ejemplo, denominado loess estacional, se basa en mínimos cuadrados ponderados localmente y es discutido por Cleveland (1993). No discutimos el loess estacional en este manual. Métodos basados en la frecuencia Otro enfoque, comúnmente utilizado en aplicaciones científicas y de ingeniería, es analizar las series en el dominio de la frecuencia. Un ejemplo de este enfoque en el modelado de un conjunto de datos de tipo sinusoidal se muestra en el estudio de caso de desviación de haz. La gráfica espectral es la principal herramienta para el análisis de frecuencia de series temporales. Modelos autoregresivos (AR) Un modelo común para el modelado de series temporales univariadas es el modelo autorregresivo (AR): Xt delta phi1 X phi2 X cdots phip X En, donde (Xt) es la serie temporal, (At) es ruido blanco y delta Izquierda (1 - sum p phii derecha) mu. Con (mu) denotando la media del proceso. Un modelo autorregresivo es simplemente una regresión lineal del valor actual de la serie contra uno o más valores previos de la serie. El valor de (p) se denomina el orden del modelo AR. Los modelos AR pueden ser analizados con uno de varios métodos, incluyendo técnicas lineales lineales por mínimos cuadrados. También tienen una interpretación directa. Modelos de media móvil (MA) Otro enfoque común para el modelado de modelos de series de tiempo univariados es el modelo de media móvil (MA): Xt mu At - theta1 A - theta2 A - cdots - thetaq A, donde (Xt) es la serie temporal ) Es la media de la serie, (A) son términos de ruido blanco, y (theta1,, ldots,, thetaq) son los parámetros del modelo. El valor de (q) se llama el orden del modelo MA. Es decir, un modelo de media móvil es conceptualmente una regresión lineal del valor actual de la serie contra el ruido blanco o choques aleatorios de uno o más valores anteriores de la serie. Se supone que los choques aleatorios en cada punto provienen de la misma distribución, normalmente una distribución normal, con ubicación a cero y escala constante. La distinción en este modelo es que estos choques aleatorios se propagan a los valores futuros de las series temporales. El ajuste de las estimaciones de MA es más complicado que con los modelos de AR porque los términos de error no son observables. Esto significa que los procedimientos de ajuste no lineales iterativos deben ser usados en lugar de mínimos cuadrados lineales. Los modelos MA también tienen una interpretación menos obvia que los modelos AR. A veces, el ACF y PACF sugieren que un modelo de MA sería una mejor elección de modelo y, a veces, ambos AR y MA términos se deben utilizar en el mismo modelo (véase la Sección 6.4.4.5). Tenga en cuenta, sin embargo, que los términos de error después de que el modelo sea apropiado deberían ser independientes y seguir las suposiciones estándar para un proceso univariante. Box y Jenkins popularizaron un enfoque que combina el promedio móvil y los enfoques autorregresivos en el libro Análisis de series temporales: previsión y control (Box, Jenkins y Reinsel, 1994). Aunque tanto los enfoques de media móvil como autoregresivos ya eran conocidos (y fueron investigados originalmente por Yule), la contribución de Box y Jenkins fue desarrollar una metodología sistemática para identificar y estimar modelos que pudieran incorporar ambos enfoques. Esto hace que los modelos de Box-Jenkins sean una clase poderosa de modelos. Las siguientes secciones discutirán estos modelos en detalle.
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